509. 斐波那契数(简单)

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1，问题描述

509. 斐波那契数

难度：简单

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

1
2
F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给定 n ，请计算 F(n) 。

示例 1：

1
2
3
输入：n = 2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：

1
2
3
输入：n = 3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3：

1
2
3
输入：n = 4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

提示：

  • 0 <= n <= 30

2，初步思考

​ 这个是经典的斐波那契数列，模拟法、dp、递归都可以解决，最快的还是数学方法直接算出结果

3，代码处理

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public class _509斐波那契数 {

    // 解法：矩阵快速幂
    // 数学素养要好才行！！！计算步骤其实更多了！！！
    public int fib_matrix(int n) {
        if (n < 2) {
            return n;
        }
        int[][] q = {{1, 1}, {1, 0}};
        int[][] res = pow(q, n - 1);
        return res[0][0];
    }

    public int[][] pow(int[][] a, int n) {
        int[][] ret = {{1, 0}, {0, 1}};
        while (n > 0) {
            if ((n & 1) == 1) {
                ret = multiply(ret, a);
            }
            n >>= 1;
            a = multiply(a, a);
        }
        return ret;
    }

    public int[][] multiply(int[][] a, int[][] b) {
        int[][] c = new int[2][2];
        for (int i = 0; i < 2; i++) {
            for (int j = 0; j < 2; j++) {
                c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j];
            }
        }
        return c;
    }

    // 解法：模拟法
    public int fib_simulate(int n) {
        if (n < 2) {
            return n;
        }
        int start = 0, end = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            int temp = end;
            end = start + end;
            start = temp;
        }
        return end;
    }

    // 斐波那契数 F(n) 是齐次线性递推
    public int fib_math_(int n) {
        double sqrt5 = Math.sqrt(5);
        double fibN = Math.pow((1 + sqrt5) / 2, n) - Math.pow((1 - sqrt5) / 2, n);
        return (int) Math.round(fibN / sqrt5);
    }

    // 数学方法求解
    // 所有的数据最终都是会变为0，1的个数求解
    // 时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(1)，只用遍历一次
    public int fib_math_sum(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        int beforeIdx = n, beforeCnt = 1, afterCnt = 0;
        while (beforeIdx > 1) {
            beforeIdx--;
            int tempCnt = beforeCnt;
            beforeCnt = beforeCnt + afterCnt;
            afterCnt = tempCnt;
        }
        return beforeCnt;
    }


    // 动态规划:0ms、击败100%
    // 时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(n)
    public int fib_dynamic(int n) {
        dp = new int[n + 1];
        return fib_dp(n);
    }

    int[] dp;

    private int fib_dp(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        if (dp[n] != 0) return dp[n];
        dp[n] = fib_dp(n - 1) + fib_dp(n - 2);
        return dp[n];
    }

    // 递归:9ms、击败21.61%
    // 重复计算有点多，优化一下用空间换时间
    // 时间复杂度：O(2^n)，空间复杂度：O(1)
    public int fib_recursion(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        return fib_recursion(n - 1) + fib_recursion(n - 2);
    }

    public static void main(String[] args) {
        _509斐波那契数 fib = new _509斐波那契数();
        System.out.println(fib.fib_simulate(10));
        System.out.println(fib.fib_dynamic(10));
    }
}